標(biāo)準(zhǔn)差概述

標(biāo)準(zhǔn)差是一種表示分散程度的統(tǒng)計(jì)觀念。標(biāo)準(zhǔn)差已廣泛運(yùn)用在股票以及共同基金投資風(fēng)險(xiǎn)的衡量上，主要是根據(jù)基金凈值于一段時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的情況計(jì)算而來(lái)的。一般而言，標(biāo)準(zhǔn)差愈大，表示凈值的漲跌較劇烈，風(fēng)險(xiǎn)程度也較大。實(shí)務(wù)的運(yùn)作上，可進(jìn)一步運(yùn)用單位風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率的概念，同時(shí)將報(bào)酬率的風(fēng)險(xiǎn)因素考慮在內(nèi)。所謂單位風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率是指衡量投資人每承擔(dān) 一單位的風(fēng)險(xiǎn)，所能得到的報(bào)酬，以夏普指數(shù)最常為投資人運(yùn)用。

標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)值自平均值分散開(kāi)來(lái)的程度的一種測(cè)量觀念。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分的數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。

例如，兩組數(shù)的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。

標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測(cè)量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測(cè)量的精確度。當(dāng)要決定測(cè)量值是否符合預(yù)測(cè)值，測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測(cè)量平均值與預(yù)測(cè)值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測(cè)量值與預(yù)測(cè)值互相矛盾。這很容易理解，因?yàn)橹刀悸湓谝欢〝?shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測(cè)值是否正確。

標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)易計(jì)算公式

假設(shè)有一組數(shù)值 x1, ..., xN （皆為實(shí)數(shù)），其平均值為：

此組數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為：

一個(gè)較快求解的方式為：

一隨機(jī)變量X 的標(biāo)準(zhǔn)差定義為：

須注意并非所有隨機(jī)變量都具有標(biāo)準(zhǔn)差，因?yàn)橛行╇S機(jī)變量不存在期望值。 如果隨機(jī)變量 X 為 x1,...,xN 具有相同機(jī)率，則可用上述公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。從一大組數(shù)值當(dāng)中取出一樣本數(shù)值組合 x1,...,xn ，常定義其樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

范例：標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

這里示范如何計(jì)算一組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。例如一群孩童年齡的數(shù)值為 { 5, 6, 8, 9 } ：

第一步，計(jì)算平均值

n = 4 （因?yàn)榧侠镉?4 個(gè)數(shù)），分別設(shè)為：，，，

用 4 取代 N

此為平均值。

第二步，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差

用 4 取代 N

用 7 取代

標(biāo)準(zhǔn)差與平均值之間的關(guān)系

一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時(shí)做為參考的依據(jù)。在直覺(jué)上，如果數(shù)值的中心以平均值來(lái)考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計(jì)分布之一"自然"的測(cè)量。較確切的敘述為：假設(shè) x1, ..., xn 為實(shí)數(shù)，定義其公式

使用微積分，不難算出 σ(r) 在下面情況下具有唯一最小值：

標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別

標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。

例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。

標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。

標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用分析

標(biāo)準(zhǔn)差在投資決策中的應(yīng)用

投資是企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)和發(fā)展壯大的必要手段。投資者作出投資決策時(shí)，不僅要考慮預(yù)期回報(bào)，還必須分析比較投資風(fēng)險(xiǎn)。

由于投資風(fēng)險(xiǎn)的客觀存在性及其對(duì)投資收益的不利性，投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)必須而且也應(yīng)該對(duì)投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析，盡可能地測(cè)定和量化風(fēng)險(xiǎn)的大小。

1、用標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險(xiǎn)大小。此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式如下：

其中σ為標(biāo)準(zhǔn)差，Pi為期望投資收益率，Pi為一系列可能性事件發(fā)生的概率，ri為可能性事件發(fā)生時(shí)的投資收益。標(biāo)準(zhǔn)差值越小，說(shuō)明投資風(fēng)險(xiǎn)越小。

假設(shè)投資者要在A、B兩個(gè)項(xiàng)目中選擇一個(gè)或兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資。估計(jì)第二年每個(gè)項(xiàng)目的收益率可能有四個(gè)結(jié)果，每個(gè)結(jié)果都有一個(gè)確定的概率與之對(duì)應(yīng)。如下表所示，表中r為收益率，p為收益率實(shí)現(xiàn)的可能性。

表1 A、B兩項(xiàng)目的收益率分布

	A項(xiàng)目		B項(xiàng)目
	r	p	r	p
1	0.2	0.25	1.0	0.05
2	0.14	0.25	0.6	0.2
3	0.10	0.25	0.1	0.7
4	0.04	0.25	-1.0	0.05

投資項(xiàng)目A、B的期望收益率分別為：

計(jì)算結(jié)果表明，A項(xiàng)目的期望收益率小于B項(xiàng)目。但從收益率的分布看，A項(xiàng)目的收益率在4％～20%之間波動(dòng)，變動(dòng)范圍小；而B(niǎo)項(xiàng)目收益率從-100％到+100％，變動(dòng)范圍大。收益率的變動(dòng)大小反映了風(fēng)險(xiǎn)的大小，收益率變動(dòng)大，風(fēng)險(xiǎn)就大。根據(jù)公式(3)計(jì)算得：σA= 5.83%，σB= 37.80%。這是不是說(shuō)明B項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)更大呢?從數(shù)學(xué)角度看，B項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)差大可能來(lái)源于B項(xiàng)目的各種可能收益都比較大。

2、標(biāo)準(zhǔn)差的局限性。當(dāng)不同項(xiàng)目的期望回報(bào)率相同時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險(xiǎn)程度是合適的，否則就不能再用標(biāo)準(zhǔn)差而必須用一個(gè)相對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。取標(biāo)準(zhǔn)差與期望值的比率；，稱(chēng)為變異系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)離差，該值越大反映項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)越大。

可以計(jì)算項(xiàng)目A的變異系數(shù),項(xiàng)目B的變異系數(shù)。這個(gè)時(shí)候就可以說(shuō)B項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)更大。

標(biāo)準(zhǔn)差在股市分析中的應(yīng)用

股票價(jià)格的波動(dòng)是股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的表現(xiàn)，因此股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分析就是對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)進(jìn)行分析。波動(dòng)性代表了未來(lái)價(jià)格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)(Markowitz，1952)。下表是中國(guó)和美國(guó)部分時(shí)段的股票統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，其中中國(guó)證券市場(chǎng)的數(shù)據(jù)由“錢(qián)龍”軟件下載，美國(guó)證券市場(chǎng)的數(shù)據(jù)取自ECI的“world stock Excllarlge Data Disk”。

表2股票統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

年份	業(yè)績(jī)表現(xiàn)		波動(dòng)率
	上證綜指	標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)	上證綜指	標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)
1996	110.93	16.46	0.2376	O.0573
1997	-0.13	31.01	O.1188	O.0836
1998	8.94	26.67	O.0565	O.0676
1999	17.24	19.53	O.1512	0.0433
2000	43.86	-10.14	0.097	0.0421
2001	-15.34	-13.04	O.0902	O.0732
2002	-20.82	-23.37	O.0582	O.1091

通過(guò)計(jì)算可以得到：

上證綜指業(yè)績(jī)期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67

上證波動(dòng)率期望值≈0.1156

標(biāo)準(zhǔn)普爾業(yè)績(jī)期望值≈6.7214

標(biāo)準(zhǔn)普爾波動(dòng)率期望值≈0.0680

而標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式則根據(jù)公式(2)計(jì)算：

上證綜指的業(yè)績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差

上證波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差≈0.0632

標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)業(yè)績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差≈21.71

標(biāo)準(zhǔn)普爾波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)差≈0.02365

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是絕對(duì)值，不能通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)中美直接進(jìn)行對(duì)比，而變異系數(shù)可以直接比較。計(jì)算可得：

上證業(yè)績(jī)變異系數(shù)≈45.2457/20.67≈2．1889

上證波動(dòng)率變異系數(shù)≈0.0632/0.1156≈0.5467

標(biāo)準(zhǔn)普爾業(yè)績(jī)變異系數(shù)≈21.71/6.7214≈3.2299

標(biāo)準(zhǔn)普爾波動(dòng)率變異系數(shù)≈0.02365/0.0680≈0.3478

通過(guò)比較可以看出上證波動(dòng)率變異系數(shù)要大于標(biāo)準(zhǔn)普爾波動(dòng)率變異系數(shù)，說(shuō)明長(zhǎng)期來(lái)講中國(guó)股市穩(wěn)定性相對(duì)較差，還是一個(gè)不太成熟的股票市場(chǎng)。

標(biāo)準(zhǔn)差在確定企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

資本結(jié)構(gòu)指的是企業(yè)各種資金來(lái)源的比例關(guān)系，是企業(yè)籌資活動(dòng)的結(jié)果。最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是指能使企業(yè)資本成本最低且企業(yè)價(jià)值最大的資本結(jié)構(gòu)；產(chǎn)權(quán)比率，即借入資本與自有資本的構(gòu)成比例，是反映企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的重要變量。企業(yè)的資產(chǎn)由債務(wù)性資金和權(quán)益性資金組成，但其風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)和收益率各不相同。根據(jù)投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風(fēng)險(xiǎn)，因此資金提供者需要決定投資于債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的比例。以便在權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)和收益的情況下保證其利益的最大化。

理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業(yè)價(jià)值的最大化，這一投資比例對(duì)于企業(yè)融資而言也就是企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)比例。

假定某企業(yè)的資金通過(guò)發(fā)行債券和股票兩種方式獲得，并且都屬于風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)。σ其中債券的收益率為rD，風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差σD來(lái)衡量；股票的收益率為rE，風(fēng)險(xiǎn)為σE；股票和債券的相關(guān)系數(shù)為pDE，協(xié)方差為COV(rD,rE)；債券所占的比重為wD，股票所占比重為WE(WD+ WE= 1)。根據(jù)投資組合理論，企業(yè)外部投資者對(duì)該企業(yè)投資所獲的期望收益率為E(rp) = WDE(rD) + wEE(rE)，方差為

1、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)pDE為1。企業(yè)外部投資者獲得的期望收益率為E(rp) = wDE(rD) + wEE(rE)，風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)差為σ = wDσD+ wEσE,也就是組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于各個(gè)部分標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值，通過(guò)投資組合不可能分散掉投資風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)投資組合理論，投資組合的不同比例對(duì)于投資者而言是無(wú)差異的。

2、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全負(fù)相關(guān)，即其相關(guān)系數(shù)為-1。投資者獲得的報(bào)酬率的期望值及其方差分別為。

根據(jù)投資組合理論，只有當(dāng)投資比例大于σE/ (σD+ σE)時(shí)其投資組合才是有效的。對(duì)于企業(yè)籌資而言，也即企業(yè)的權(quán)益性資金的比例大干σE/ (σD+ σE)，企業(yè)的籌資比例才是有效的，而且當(dāng)組合比例為σE/ (σD+ σE)時(shí)，企業(yè)的籌資組合風(fēng)險(xiǎn)為零。

3、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)大于-1小于1。理論上，一個(gè)企業(yè)的兩種籌資方式之間的相關(guān)程度較高，一方面兩種籌資方式都承擔(dān)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，另一方面它們也承擔(dān)相同的公司風(fēng)險(xiǎn)。因此從實(shí)踐來(lái)看，企業(yè)的不同籌資方式間的相關(guān)程度不可能是完全的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。對(duì)于一個(gè)企業(yè)而言，債務(wù)性資金對(duì)企業(yè)有固定的要求權(quán)，權(quán)益性資金對(duì)企業(yè)只有剩余要求權(quán)，因此債務(wù)性資金的波動(dòng)不可能像權(quán)益性資金的波動(dòng)那么大。同時(shí)企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)同時(shí)影響企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金，因此企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)不可能為負(fù)數(shù)。企業(yè)不同的籌資方式間的相關(guān)系數(shù)一般在0-1之間。

那么究竟在什么比例下企業(yè)的價(jià)值才會(huì)達(dá)到最大呢?根據(jù)投資組合理論，當(dāng)E(r1) > E(r2)，且時(shí)，才能出現(xiàn)r1，優(yōu)于r2。可見(jiàn)，決定企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風(fēng)險(xiǎn)以及它們之間的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)條目

• 標(biāo)準(zhǔn)誤差

參考文獻(xiàn)

1. ↑ 1.0 1.1 1.2 陳未.淺析標(biāo)準(zhǔn)差在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用.《當(dāng)代經(jīng)濟(jì)》.2009年第02期